אסימפטוטה אופקית: איך מוצאים אותה שלב אחר שלב

אסימפטוטה אופקית: איך מוצאים ומתי קיימת?

פתיח

במסגרת הבגרות בפרק חדו"א לרוב חוקרים פונקציות שונות. אסימפטוטות מהוות שלב בסיסי בניתוח של פונקציות. בפוסט זה נתעמק מתי נדרש לחשב אסימפטוטה אופקית וכיצד עושים זאת.

מהי אסימפטוטה אופקית?

אסימפטוטה אופקית הינה קו ישר שגרף הפונקציה מתקרב אליו באופן כזה שהמרחק ביניהם מתקרב לאפס ככל שמתרחקים מראשית הצירים אל האינסוף (או מינוס אינסוף).

לדוגמה, נסתכל על גרף הפונקציה:

ניתן לראות כי ככל שערכי הציר האופקי (ציר ה-x) הולכים וגדלים (שואפים לאינסוף), הערכים בציר האנכי (ציר ה-y) הולכים ומתקרבים לערך 1.5.

מתי נדרש לבדוק אסימפטוטה אופקית?

כנכתב, אסימפטוטה אופקית היא קו אליו הפונקציה שואפת עבור ערכי x הולכים ושואפים לאינסוף (או מינוס אינסוף). נבדוק את התנהגות הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף (או למינוס אינסוף), כאשר תחום ההגדרה של הפונקציה מאפשר זאת.

לדוגמה, במסגרת הבגרות עבור פונקציות טריגונומטריות (כמו פונקציית סינוס, קוסינוס והרכבות למיניהן שלהן), יינתן תחום סגור לחקירת הפונקציה. למשל, לחקור את הפונקציה בתחום:

האם במקרה זה נחשב אסיפטוטה אופקית? לא, שכן ערכי x במקרה זה חסומים ואינם יכולים לשאוף לאינסוף (וכמו כן, מינוס אינסוף).

חישוב האסימפטוטה האופקית מבוצעת ע"י השוואת המקדמים של האיברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר במונה ובמכנה. יש להבחין בין שלושה מקרים אפשריים (עליהם נרחיב בהמשך):

1. החזקה במונה שווה לחזקה במכנה:

2. החזקה במונה גדולה יותר מהחזקה במכנה:

3. החזקה במונה קטנה יותר מהחזקה במכנה:

הרחבה - כיצד מחשבים אסימפטוטה אופקית?

חישוב ערכה של אסימפטוטה אופקית הוא עניין טכני, אבל לפני שנבין את השיטה, נבצע מספרי חישובי עזר שיעזרו לנו להתקדם. נסתכל על הפונקציה הבאה:

הבא נבדוק מהם ערכי הפונקציה הבאה במספר מקרים, כאשר ערכי ה-x הולכים ושואפים לאינסוף:

מקרה א' - כאשר 10 = x נקבל:

מקרה ב' - כאשר 100 = x נקבל:

מקרה ג' - כאשר 1,000 = x נקבל:

מקרה ד' - כאשר 10,000 = x נקבל:

נשים לב כי ככל שערכי ה-x גדלים ערכי הפונקציה מתקרבים לערך 4. זוהי למעשה האסימפטוטה האופקית באיסוף של הפונקציה שבדוגמה.

כעת, כיצד ניתן לחשב את האסימפטוטה האופקית בצורה טכנית? הטכניקה היא להשוות בין המקדמים של האיברים בעלי החזקה הגבוהה ביותר במונה ובמכנה. נבין בין שלושת המקרים הקיימים:

מקרה א' - החזקה במונה שווה לחזקה במכנה:

נביט בפונקציה (x)f. נשים לב כי החזקה הגדולה ביותר במונה היא 6. כמו כן, החזקה הגדולה ביותר במכנה היא גם 6. במקרה זה, יש לפונקציה אסימפטוטה אופקית, והיא שווה ליחס בין המקדמים של חזקות אלו. כלומר, האסימפטוטה האופקית היא 1.5 כיחס בין 15 ובין 10.

מקרה ב' - החזקה במונה גדולה יותר מהחזקה במכנה:

נביט בפונקציה (x)g. הפעם, החזקה הגדולה ביותר במונה היא 7 והחזקה הגדולה ביותר במכנה היא 5. כלומר, החזקה במונה גדולה יותר מהחזקה במכנה. במקרה זה, אין לפונקציה אסימפטוטה אופקית. כלומר, ככל שערכי ה-x שואפים לאינסוף, גם הפונקציה עצמה שואפת לאינסוף (או מינוס אינסוף).

מקרה ג' - החזקה במונה קטנה יותר מהחזקה במכנה:

נביט בפונקציה (x)h. במקרה זה, החזקה הגדולה ביותר במונה היא 3 והחזקה הגדולה ביותר במכנה היא 4. כלומר, החזקה במונה קטנה יותר מהחזקה במכנה. לפונקציה יש אסימפטוטה אופקית והיא שווה ל-0.

טעויות נפוצות

על אף שחישוב האסימפטוטה האופקית הינו בסיסי, קיימות מספר טעויות שעלולות לקרות תוך כדי החישוב. נעלה על הדעת את הטעויות הנפוצות:

1. אי-בדיקת האסיפטוטה האופקית באינסוף ובמינוס אינסוף - בפונקציות בהן תחום ההגדרה מאפשר בדיקה של האסימפטוטה באינסוף ובמינוס אינסוף, יש לעשות את החישוב לשני המקרים בנפרד. יתר על כן, האסימפטוטה האופקית עשויה להיות בשני המקרים. לכן, יש לבדוק תמיד את שני הכיוונים. 

2. קביעה שגויה כשהמונה גדול מהמכנה - נחזור ונדגיש כי יש לבדוק את את דרגות החזקה הגבוהה ביותר במונה ובמכנה. אם הדרגה במונה גדולה מזו שבמכנה, הפונקציה שואפת לאינסוף ואין לה אסימפטוטה אופקית.

3. הנחה שאסימפטוטה אופקית לא יכולה להיחתך - אסימפטוטה אופקית מעידה על התנהגות הפונקציה בקצוות (אינסוף ומינוס אינסוף). בניגוד לאסימפטוטה אנכית, הגרף רשאי לחצות אסימפטוטה אופקית באמצע.

4. בילבול בין אסימפטוטה אנכית לאופקית - מאפסים מכנה רק כדי למצוא אסימפטוטות אנכיות (או חורים בפונקציה). באסימפטוטה אופקית, מחשבים את ערך הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ומינוס אינסוף.

5. כתיבת תשובה לא נכונה - אסימפטוטה אופקית הינה קו ישר, ולכן יש לכתוב אותה תמיד בצורה של משוואת ישר, למשל y = 5 ולא סתם את המספר 5.

סיכום

אסימפטוטה אופקית הינה קו ישר שגרף הפונקציה מתקרב אליו באופן כזה שהמרחק ביניהם מתקרב לאפס ככל שמתרחקים מראשית הצירים אל האינסוף. חישוב האסימפטוטה האופקית יבוצע רק עבור פונקציות לא חסומות (כלומר שערכי ה-x יכולים לשאוף לאינסוף). חישוב האסימפטוטה האופקית יבוצע על ידי השוואה בין המקדמים של החזקות הגבוהות ביותר במונה ובמכנה.

תרגיל מסכם

עבור שלושת הפונקציות הבאות, מצאו את האסימפטוטה האופקית של כל אחת מהפונקציות באינסוף:

תשובה סופית - האסיפטוטה האופקית באינסוף היא 0.5

תשובה סופית - אין אסיפטוטה אופקית באינסוף

תשובה סופית - האסיפטוטה האופקית באינסוף היא 0

עדין מתקשים עם חישוב אסימפטוטה אופקית? הירשמו ל-A-Class, ותהנו ממגוון מורים פרטיים במתמטיקה [ומקצועות נוספים :) ] שישמחו לעזור לכם בדרך שלכם להצליח!