נגזרת מנה: איך משתמשים בנוסחה בלי להתבלבל בסימנים בנוסחה

הקדמה

נגזרת מנה משמשת אותנו כאשר אנו נדרשים לגזור פונקציה הבנויה מחלוקת שתי פונקציות (אחת במונה והשנייה במכנה) האחת בשנייה. בשונה מחיבור או חיסור, הנגזרת של מנה אינה שווה לנגזרת המונה חלקי נגזרת המכנה. בלב הכלל עומד סימן מינוס במונה, שהוא המקור העיקרי לבלבולים וטעויות של תלמידים.

נגזרת מנה: כיצד גוזרים פונקציית מנה?

הנוסחה לגזירת מנה היא:

במילים: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, וכל זה חלקי המכנה בריבוע.

שיטת הגזירה למניעת טעויות:

הכלל שחובה לזכור - מתחילים מנגזרת המונה.

שלבי השיטה:

1. רשומו בצד בצורה מסודרת את f(x) ו-g(x) ואת הנגזרות שלהן.

2. הכינו את תבנית הנגזרת מראש כדלקמן:

   

3. הוסיפו סוגריים מסביב לכל ביטוי המורכב מיותר מאיבר אחד.

שימו לב: בפונקציית מנה המכנה חייב להיות שונה מאפס. לכן לפני הגזירה יש לבדוק אילו ערכי x מאפסים את המכנה ולהוציא אותם מתחום ההגדרה.

דוגמה מודרכת עם שלבי פתרון:

נגזור את הפונקציה הבאה:

1. נגזור את הפונקציה שבמונה ובמכנה בנפרד:

   

   

2. נציב בנוסחה של נגזרת מנה:

   

3. לבסוף, נפשט את הנגזרת על ידי פתיחת סוגריים במונה וכינוס איברים:

טעויות נפוצות

נעלה כאן מספר טעויות נפוצות של תלמידים:

1. היפוך סדר הנגזרות במונה - יש להתחיל ממכפלת הנגזרת של הפונקציה שבמונה בפונקציה שבמכנה.

2. שכחת סוגריים לאחר סימן המינוס - אם יש סימן מינוס לפני סוגריים, הוא משנה את הסימן של כל האיברים שבסוגריים.

3. פתיחת סוגריים במכנה - אין צורך לפתוח את הפונקציה שבמכנה, שכן זה לא משנה למציאת נקודות חשודות לקיצון (חישוב הערכים שמאפסים את הנגזרת) והשארתו בריבוע (קרי, בחזקת 2) מקלה על בדיקת תחום הגדרה.

4. צמצום אסור - צמצום איברים מהמונה עם המכנה לפני שבוצע פירוק לגורמים מלא במונה.

סיכום

כדי לשלוט בגזרית פונקצית מנה ללא טעויות סימן - גזרו תחילה את המונה. לאחר מכן, הכפילו במכנה. אז, חסרו את המכפלה מהכפלה של המונה בנגזרת המכנה (שימו לב לסימן המינוס של החיסור). לבסוף, חלקו את התוצאה בריבוע המכנה . עבודה עם סוגריים ורישום הרכיבים בצד מבטיחה צמצום טעויות.

תרגול מסכם

1. גזרו את הפונקציה הבאה:

   

   פתרון:

2. גזרו את הפונקציה הבאה:

   

   פתרון:

   

3. גזרו את הפונקציה הבאה:

   

   פתרון: