משפט הסינוסים

לפני 7 ימים
זמן קריאה 3 דקות

מהו משפט הסינוסים?

משפט הסינוסים שייך לתחום הטריגונומטריה - ענף במתמטיקה העוסק בחקר הקשרים שבין אורכי הצלעות לבין הזוויות במשולש.

בכל משולש, היחס בין אורך צלע לבין סינוס הזווית שמולה הוא קבוע. בנוסף, היחס הזה שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש (כלומר פי שניים מרדיוס המעגל החוסם). באיור מטה מוצג משולש חסום במעגל והנוסחה המתאימה לכתיבת היחסים בין הצלעות לסינוס הזוויות מול הצלעות המתאימות ולקוטר המעגל החוסם את המשולש:

מתי משתמשים במשפט הסינוסים?

נחלק את התשובה למספר מקרים על פי הנתונים שניתן לקבל בשאלות:

מקרה א' - נתונות שתי זוויות וצלע אחת במשולש.

האם ניתן להשתמש במשפט הסינוסים במקרה זה? כן, ואף מומלץ מאוד. מוצאים תחילה את הזווית השלישית (סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות), ואז מחשבים את שאר הצלעות בקלות.

מקרה ב' - נתונים זוג צלעות והזווית שמול אחת הצלעות במשולש.

האם ניתן להשתמש במשפט הסינוסים במקרה זה? כן. ניתן לחשב את הזווית מול הצלע השנייה.

מקרה ג' - נתון רדיוס המעגל החוסם את המשולש או שמתבקש למצוא אותו.

האם ניתן להשתמש במשפט הסינוסים במקרה זה? כן, ולמעשה המשפט מהווה כלי בלעדי במקרה זה לפתרון. משפט הסינוסים מקשר באופן ישיר בין צלעות וזוויות לרדיוס המעגל החוסם.

מקרה ד' - נתונות שתי צלעות והזווית שביניהן במשולש.

האם ניתן להשתמש במשפט הסינוסים במקרה זה? לא, חסר זוג ידוע של צלע והזווית שממולה.

חלופה: ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים.

מקרה ה' - נתונות שלוש צלעות המשולש (ללא אף זווית).

האם ניתן להשתמש במשפט הסינוסים במקרה זה? לא, אין אף זווית להציב בסינוסים.

חלופה: ניתן להשתמש במשפט הקוסינוסים.

דוגמאות מודרכות למשפט הסינוסים

שאלה לדוגמה ראשונה:

נתון משולש חסום במעגל. מול זווית 40 מעלות נמצאת צלע שאורכה 8 ס"מ. כמו כן, מול זווית 60 מעלות נמצאת צלע המסומנת באות b (ראה איור מטה). מצאו את אורך הצלע b.

פתרון:

המקרה המתואר בשאלה זו מתאים למקרה ב' שברשימת המקרים ליישום משפט הסינוסים. כלומר, נתונים זוג צלעות והזווית שמול אחת הצלעות במשולש. לפי משפט הסינוסים נקבל:

שאלה לדוגמה שנייה:

נתון משולש חסום במעגל. מול זווית 45 מעלות נמצאת צלע שאורכה 12 ס"מ. מצאו את רדיוס המעגל החוסם.

פתרון:

המקרה המתואר בשאלה זו מתאים למקרה ג' שברשימת המקרים ליישום משפט הסינוסים. כלומר, נתון רדיוס המעגל החוסם את המשולש או שמתבקש למצוא אותו (בשאלה זו, למצוא אותו על סמך שאר הנתונים). לפי משפט הסינוסים נקבל:

דוגמה לחישוב רדיוס מעגל חוסם באמצעות משפט הסינוסים

טעויות נפוצות במשפט הסינוסים

לא בכל משולש משתמשים במשפט הסינוסים.
חשוב להתאים כל צלע לזווית שמולה.
במקרים מסוימים כאשר מחשבים זווית, ייתכנו שתי אפשרויות וצריך לבדוק איזו מהן מתאימה למשולש.

סיכום

משפט הסינוסים מורה כי היחס בין אורך צלע לבין סינוס הזווית שמולה במשולש הוא קבוע. יתר על כן, היחס הזה שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש. המקרים בהם נשתמש במשפט הם כאשר:

נתונות שתי זוויות וצלע אחת במשולש.
נתונים זוג צלעות והזווית שמול אחת הצלעות במשולש.
נתון רדיוס המעגל החוסם את המשולש או שמתבקש למצוא אותו.

תרגילים במשפט הסינוסים

תרגיל 1 - נתון משולש ובו זווית אחת שווה ל-70 מעלות וזווית אחרת שווה ל-50 מעלות. אורך הצלע מול הזווית שגודלה 70 מעלות היא 10 ס"מ. מהו אורך צלע המשולש מול הזווית שגודלה 50 מעלות?

פתרון - אורך צלע המשולש מול הזווית שגודלה 50 מעלות הוא 8.15 ס"מ.

תרגיל 2 - חוסמים משולש במעגל שרדיוסו 7 ס"מ. אחת מזוויות המשולש היא 30 מעלות. מהו אורך הצלע שנמצאת מול זווית זו?

פתרון - אורך צלע המשולש מול הזווית שגודלה 30 מעלות הוא 7 ס"מ.