משפט הקוסינוסים

לפני 6 ימים
זמן קריאה 2 דקות

הקדמה

משפט הקוסינוסים הינו הרחבה של משפט פיתגורס למציאת צלע במשולש, שאינו ישר זווית, באמצעות שתי הצלעות האחרות והזווית ביניהן.

חזרה - משפט פיתגורס

משפט פיתגורס נועד למצוא את היתר או אחד הניצבים במשולש ישר זווית כאשר ידועות שתי הצלעות האחרות. לדוגמה, החישוב למציאת היתר מבוצע באופן הבא:

משפט הקוסינוסים

כעת, כיצד נוכל להרחיב את השימוש במשפט פיתגורס עבור כל משולש? למעשה, כדי למצוא את אחת הצלעות היינו צריכים לדעת את שתי הצלעות האחרות והזווית שביניהן (שהייתה 90 מעלות). כאשר הזווית הזו היא לא ישרה, נהיעזר במשפט הקוסינוסים. למשל, עבור מציאת הצלע שסומנה באות c, החישוב יבוצע באופן הבא:

נשים לב, הזווית שכתובה בתוך ה-cos שבנוסחה חייבת להיות הזווית שמול הצלע שאנחנו מחפשים.

דוגמת חישוב לשימוש בנוסחה - להלן המשולש הבא, ובו נתון כי צלע אחת באורך 8 יחידות מידה, הצלע השנייה באורך 5 יחידות מידה וביניהן זווית בת 60 מעלות. נרצה למצוא את הצלע השלישית (הצלע שסומנה באות c).

כנכתב, הזווית הנתונה היא מול הצלע שאנו רוצים לחשב. לכן, החישוב מבוצע בהתאם לנוסחה באופן הבא:

דגשים וטעויות נפוצות

א. איך מזהים שמשפט הקוסינוסים הוא המשפט המתאים? אם רוצים למצוא גודל של צלע במשולש על סמך גודל של שתי הצלעות האחרות וזווית שאינה ישרה, נצטרך להשתמש במשפט הקוסינוסים.

ב. איך לכתוב את הנוסחה של משפט הקוסינוסים נכון? ריבוע הצלע שמול הזווית הנתונה נמצא בצד אחד של המשוואה ויתר המרכיבים בצד השני של המשוואה.

ג. האם תמיד נרצה לחשב דווקא את הצלע שמול הזווית הנתונה? כמובן שלא, אבל כדי לקבל תשובה נכונה נשתמש בכתוב סעיף ב' לעיל. פשוט במקרה שנרצה לחשב את אחת הצלעות ליד הזווית הנתונה הנעלם יהיה בצד של יתר המרכיבים.

ד. טעויות נפוצות: 1. בידוד שגוי של הצלע בנוסחה - מבודדים את הצלע שמול הזווית הנתונה. 2. אלגברה - לשכוח להעלות את הצלעות בריבוע, או לשכוח להוציא שורש בסיום החישוב. 3. יחידות מידה לזווית - הזווית נלקחת במעלות ולא ברדיאנים. לפני החישוב יש לוודא שהמחשבון נמצא במצב DEG ולא במצב RAD.