נגזרת של ln(x) - הכלל והטעיות הנפוצות

הקדמה

פונקציית ln(x) הינה פונקציה ממשפחת הפונקציות הלוגריתמיות, והיא ההפוכה לפונקציה האקספוננציאלית e^(x) (פונקציה מעריכית עם בסיס e) . פונקציית ln(x) מוגדרת עבור ערכים חיוביים בלבד של x.

בעוד שנגזרות של פולינומים מורידות את החזקה ב-1, הנגזרת של ln(x) מעבירה אותנו מהעולם הלוגריתמי לעולם הפונקציות ה רציונאליות (שברים). למידת הנגזרת של ln(x) הינו מרכיב בסיסי וקריטי לפתרון בעיות חקירה פונקציות ובעיות קיצון במסגרת הבגרות.

נגזרת של ln: כיצד גוזרים פונקציות מורכבות?

הכלל הבסיסי לנגזרת של פונקציית ln(x) הוא:

כאשר בתוך ה-ln(x) ישנה פונקציה מורכבת u(x), משתמשים בכלל השרשרת (כלל הנגזרת הפנימית):

דוגמה ראשונה - נגזרת פונקציית ln(x) מורכבת:

הבא נגזור את הפונקציה:

נזהה כי הפונקציה הפנימית בתוך ה-ln הינה:

לכן, הנגזרת הפנימית (של u(x) ) הינה:

ובסה"כ, על פי הנוסחה שהוצגה קודם לכן לנגזרת של פונקציית ln(u(x)) נקבל:

דוגמה שנייה - שילוב עם נגזרת מנה:

הפעם, נגזור את הפונקציה:

נזהה כי הפונקציה הפנימית בתוך ה-ln הינה:

זוהי פונקציית מנה, ולכן נגזרתה מבוססת על נגזרת מנה. נוסחת נגזרת מנה הינה כדלקמן:

לאחר יישום נוסחת נגזרת מנה, נקבל כי הנגזרת של פונקציה u(x) ניתנת לכתיבה באופן הבא:

כעת, נפשט את הנגזרת של פונקציה g(x) תוך שימוש בחוקי שברים (כלומר, חילוק שברים זה כמו כפל בהפכי של השבר שבמכנה):

טעויות נפוצות

נציין כאן מספר טעויות נפוצות של תלמידים בגזירת פונקציית ln(x) והרכבותיה:

1. שכחת הנגזרת הפנימית - לדוגמה, גזירת ln(5x) כ-1/5x במקום 5/5x = 1/x.

2. גזירת תוכן הסוגריים בלבד. כלומר, שכחת כתיבת המכנה u(x) עבור פונקציות ln מורכבות.

3. השארת ln בנגזרת - כאשר גוזרים פונקציית ln(x) או הרכבות שלה ה-ln 'נעלם' בנגזרת.

4. אי-שימוש בחוקי לוגריתמים - קיימים מקרים בהם הנגזרת תהיה קלה יותר לגזירה אם לפני הגזירה בפועל מבצעים חוקי לוגרתמים. למשל הנגזרת של ln(x^5) קלה יותר לביצוע אם קודם לפי חוקי לוגריתמים כותבים את הפונקציה הזו כ-5ln(x).

סיכום

כדי לגזור פונקציית ln והרכבותיה, מזהים את הביטוי בתוך הסוגריים, גוזרים אותו ושמים אותו במונה, ואת הביטוי המקורי שבתוך ה-ln שמים במכנה. תמיד מומלץ לבדוק אם ניתן לפשט את הביטוי באמצעות חוקי לוגריתמים לפני תחילת הגזירה.

תרגילים מסכמים

1. גזור את הפונקציה:

   

   פתרון:

   

   
   

   גזור את הפונקציה:

   

   פתרון:

   

2. גזור את הפונקציה:

   

   
   

   רמז - ניתן לפשט את פונקציה h(x) באמצעות שימוש בחוקי לוגריתמים - החזקה (4) בפונקציה הפנימית ניתנת להורדה ככפל עם ה-ln.

   
   

   פתרון: