משולש הזהב - היחסים שצריך לדעת

מהם יחסי הצלעות במשולש הזהב?

גאומטריה הינה חלק מרכזי בלימודי מתמטיקה. בפרק זה, בין היתר, עוסקים בסוגי משולשים שונים. בפרט, יש להכיר וללמוד על משולש ה-'זהב'. משולש זה מאופיין לפי זוויותיו. זהו משולש ישר זווית, בו הזוויות האחרות הן 30 מעלות ו-60 מעלות, כמוצג באיור הבא:

במשולש זה יש יחס מעניין בין הניצב מול זווית 30 מעלות לבין היתר - הניצב הזה שווה למחצית היתר.

הערה - הניצב מול זווית 60 מעלות שווה לכפולת הניצב השני פי שורש 3, אולם יחס זה בדר"כ מחושב באמצעות טריגונומטריה.

המשפט

הגדרה - במשולש ישר זווית בעל זווית 30 מעלות, הניצב מול הזווית שווה למחצית היתר.

לדוגמה, באיור מטה משולש ABC ישר זווית. הניצב AB הוא מול זווית 30 מעלות במשולש ישר זווית ABC. צלע AC היא היתר במשולש זה. לפי המשפט, ניצב AB שווה למחצית היתר AC.

דוגמה ליישום המשפט

נתון: משולש ABC ישר זווית. זווית ABC הינה 30 מעלות. כמו כן, אורך היתר BC הינה 10 ס"מ.

צ"ל: אורך ניצב AC.

פתרון: לפי המשפט מעלה, במשולש ישר זווית בעל זווית 30 מעלות, הניצב מול הזווית שווה למחצית היתר. ניצב AC במשולש ABC הוא הניצב מול הזווית 30 מעלות. לכן, אורך הניצב AC הוא מחצית מאורך היתר AC. כלומר, אורך ניצב AC הוא 5 ס"מ.

המשפט ההפוך

הגדרה = אם במשולש ישר זווית הניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה ישנה זווית של 30 מעלות במשולש.

לדוגמה, באיור מטה משולש ABC ישר זווית. אורך הניצב AB הוא x יחידות אורך ואורך היתר AC הוא 2x יחידות אורך. לפי המשפט ההפוך, אם במשולש ישר זווית הניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה ישנה זווית של 30 מעלות במשולש. כלומר, במשולש הנתון מול ניצב AB יש את זווית ACB והיא שווה ל-30 מעלות.

דוגמה ליישום המשפט ההפוך

נתון: משולש ABC ישר זווית. אורך היתר AC הינה 18 ס"מ. אורך הניצב AB הוא 9 ס"מ. .

צ"ל: משולש ABC הינו משולש 'זהב'.

פתרון: לפי המשפט ההפוך, אורך הניצב שווה למחצית היתר. לכן, מול ניצב זה ישנה זווית 30 מעלות. כלומר, זווית ACB, שהינה מול ניצב AB, הינה 30 מעלות. סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות. לכן, זווית BAC הינה 60 מעלות. משולש הזהב הינו משולש ישר זווית בו הזוויות האחרות הן 30 מעלות ו-60 מעלות. בהתאם לכך, משולש ABC הינו משולש זהב.

סיכום

משולש הזהב הינו משולש ישר זווית, בו הזוויות האחרות הן 30 מעלות ו-60 מעלות. הניצב מול זווית 30 מעלות שווה למחצית היתר. קיים משפט הפוך המורה כי אם במשולש ישר זווית הניצב שווה למחצית היתר, אז מול ניצב זה ישנה זווית של 30 מעלות במשולש.

תרגילי סיכום

א. נתון משולש ABC ישר זווית. אורך ניצב AB הוא 7 ס"מ. בנוסף, זווית BAC הינה 60 מעלות.

מהו אורך היתר AC?

תשובה סופית - 14 ס"מ.

ב. נתון משולש ABC ישר זווית. אורך ניצב AB הוא 10 ס"מ. בנוסף, אורך היתר הינה 20 ס"מ.

האם משולש ABC הינו משולש זהב?

תשובה סופית - כן.

רמז - סכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.